Що таке система числення?

Що таке система числення?
Позиційні системи числення це системи числення, в яких значення цифри безпосередньо залежить від її положення в числі. Наприклад, число 01 позначає одиницю, 10 десять.

Позиційні системи числення дозволяють легко робити арифметичні розрахунки.

Представлення чисел за допомогою арабських цифр найпоширеніша позиційна система числення, вона називається десятковою системою числення. Десятковою системою вона називається тому, що використовує десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. Зауважте: максимальна цифра (9) на одиничку менше кількості цифр (10). Для складання машинних кодів зручно використовувати не десяткову, а двійкову систему числення, яка містить лише дві цифри, 0 і 1. Зверніть увагу, що в двійковій системі максимальна цифра 1.
Програмісти для обчислень також користуються ще вісімковій і шістнадцятковій системами числення.

Кількість цифр, що використовуються в системі числення, називається її основою. У десятковій системі основа дорівнює десяти, в двійковій системі двом, ну а в вісімковій і шістнадцятковій відповідно, восьми і шістнадцяти.
Тобто в р-ічной системі числення кількість цифр одно р і використовуються цифри від 0 до р-1. , Де
цифри, а
основа системи числення.

Якщо використовується десяткова система, то
можна опустити. число в десятковій системі числення,
це ж число в вісімковій системі числення,
це ж число в несиметричною,
це ж число в двійковій системі числення,
Питома натуральнологаріфміческая щільність запису числа залежить від основи системи числення х і виражається функцією y = ln (x) / x. Ця функція має максимум при x = e = 2, 718 281 828.

Тобто система числення з найбільшою щільністю запису має нецілочисельне підставу.
З цілочисельних систем числення найбільшою щільністю запису інформації володіє троичная система числення, тобто система з основою рівним трьом. Це завдання вирішували ще в часи Непера, в результаті для зменшення таблиць і числа обчислень перейшли до таблиць натуральних логарифмів з основою рівним числу Ейлера е = 2, 718 281 828. , Де
цифри, а
основа системи числення.

Подивимося чому дорівнюють числа з прикладів.
Використовуємо тільки що наведену формулу:. Ми розібрали, як дізнатися, чому одно число в будь-якій системі числення. Але як нам отримати це число? Уявімо що у нас є деяке число, і ми хочемо отримати його уявлення в системі по основі.

Як нам це зробити? Ми знаємо, що число, будемо з цього виходити.

Що буде, якщо ми поділимо це число на. Отримаємо.

Чому? Всі члени суми діляться на
без залишку, а останній член
у залишку, так як максимальне значення цифри завжди на одиничку менше підстави системи.

Отже ми отримали саму праву цифру, як залишок від ділення, і число, як результат ділення числа. Якщо ми так будемо продовжувати ділити, то отримаємо всі цифри.

, залишок, залишок, залишок, залишок, залишок. Що й слід було очікувати, отримали:. , Залишок, залишок, залишок.

Для закріплення наших знань проробимо обчислення для вісімковій і десяткового систем числення. , Залишок, залишок. , Залишок, залишок. Щоб ще краще зрозуміти переклад в різні системи числень, подивимося, які трансформації відбуваються всередині числа.

Подивимося, що у нас вийде при послідовному розподілі на, отримуємо, отримуємо, отримуємо, отримуємо
у залишку.
Те, як ми представляємо час на годиннику, це приклад шестидесятеричной позиційної системи числення. У поданні часу використовується три позиції: для годин, хвилин і секунд; так як для кожної позиції доводиться використовувати 60 цифр, а у нас тільки десять цифр, то для кожної шестідесятірічной позиції використовується дві десяткові цифри (00, 01, 02, 59), а позиції розділяються двокрапкою. Пиріг треба пекти в духовці 45 хвилин, скільки це буде в секундах?

Потрібно спекти десять пирогів, скільки буде потрібно часу? Щоб робити обчислення в шестидесятеричной системі числення потрібно знати таблицю додавання і множення шістдесяткова чисел. Кожна таблиця дуже велика, вона розміром 60х60 осередків, ми то звичайну таблицю множення ледве запам’ятали, а вже вивчити шестидесятиричную таблицю множення нам врядли виявиться під силу.
Щоб вирішити ці завдання можна порахувати все в десятковій системі, а потім результат перевести назад в шестидесятиричную систему. Приступимо.

Щоб перевести 45 хвилин в кількість секунд, потрібно просто, підставити числа у верхню формулу: PHP дорівнює нулю, m дорівнює 45 і s нулю, отримуємо. Відповідь на перше питання: пиріг треба пекти в духовці 2700 секунд.

Щоб дізнатися скільки потрібно часу щоб спекти десять пирогів потрібно час готування помножити на кількість пирогів, тобто на десять. , Але цей час в секундах, а нам би хотілося отримати час в звичних нам годинах, хвилинах і секундах, для цього скористаємося стандартним способом перекладу з однієї системи числення в іншу, поділом на основу системи числення.
Приступимо:
у залишку, записуємо залишок у молодший розряд хх: хх: 00;
у залишку, записуємо залишок у наступний розряд хх: 30: 00;
у залишку, записуємо залишок в старший розряд 07: 30: 00.

Відповідь на друге запитання: щоб спекти десять пирогів потрібно 7 годині 30 хвилин і 0 секунд.

Що таке система числення?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!